QUADRATO
![Immagine](/uploads/1/8/4/7/18476746/8176615.png)
In geometria, il quadrato è un quadrilatero regolare, cioè un poligono con quattro lati uguali e quattro angoli uguali (tutti retti).
Il quadrato è un caso particolare di rombo (in quanto ha tutti e quattro i lati uguali) e di rettangolo (in quanto ha quattro angoli uguali) quindi è un caso particolare di parallelogramma (in quanto ha i lati a due a due paralleli).Il perimetro di un quadrato, visto che ha tutti i lati uguali, misura:
lx4
L'area di un quadrato, visto che l'altezza e la base sono uguali, misura:
lxl=A
Il quadrato è un caso particolare di rombo (in quanto ha tutti e quattro i lati uguali) e di rettangolo (in quanto ha quattro angoli uguali) quindi è un caso particolare di parallelogramma (in quanto ha i lati a due a due paralleli).Il perimetro di un quadrato, visto che ha tutti i lati uguali, misura:
lx4
L'area di un quadrato, visto che l'altezza e la base sono uguali, misura:
lxl=A
RETTANGOLO
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In geometria il sostantivo rettangolo denota il quadrilatero con tutti gli angoli interni congruenti (e quindi retti).
Da questa definizione segue che in un rettangolo ciascuna delle due coppie di lati opposti è costituita da lati congruenti; in altre parole i rettangoli sono particolari parallelogrammi. I rettangoli sono anche particolari quadrilateri ciclici: si possono definire come i quadrilateri ciclici aventi come diagonali due diametri del cerchio circoscritto.
Il quadrato è un tipo particolare di rettangolo, caratterizzato dall'avere tutti i quattro lati congruenti. Equivalentemente si dice che l'insieme dei quadrati è l'intersezione dell'insieme dei rettangoli con l'insieme dei rombi.
Nel parlare colloquiale per sottolineare che un rettangolo non ha tutti i lati congruenti come un quadrato, si dice che un rettangolo è una figura oblunga. Quando si presenta un rettangolo nel piano cartesiano e questo ha due lati sensibilmente più lunghi degli altri due e disposti orizzontalmente, si parla di rettangolo largo; se invece i lati più lunghi sono disposti verticalmente si parla di rettangolo alto o addirittura di rettangolo sottile. La lunghezza dei due lati opposti più lunghi viene chiamata lunghezza o base del rettangolo, mentre la lunghezza dei due lati più corti viene chiamata larghezza o altezza. Si dice quindi che l'area di un rettangolo è data dal prodotto della sua lunghezza per la sua larghezza ovvero dal prodotto della sua base per la sua altezza. Ad esempio l'area del rettangolo 5 per 4 presentato nella prima figura è 20, in quanto 5 × 4 = 20. Se invece la base e l'altezza di un rettangolo si indicano rispettivamente con b ed h per la sua area A e per il suo perimetro L si ha
A=b×h L=2b+2h
Nel calcolo infinitesimale l'integrale di Riemann viene definito come limite delle somme delle aree di rettangoli via via più sottili.
Da questa definizione segue che in un rettangolo ciascuna delle due coppie di lati opposti è costituita da lati congruenti; in altre parole i rettangoli sono particolari parallelogrammi. I rettangoli sono anche particolari quadrilateri ciclici: si possono definire come i quadrilateri ciclici aventi come diagonali due diametri del cerchio circoscritto.
Il quadrato è un tipo particolare di rettangolo, caratterizzato dall'avere tutti i quattro lati congruenti. Equivalentemente si dice che l'insieme dei quadrati è l'intersezione dell'insieme dei rettangoli con l'insieme dei rombi.
Nel parlare colloquiale per sottolineare che un rettangolo non ha tutti i lati congruenti come un quadrato, si dice che un rettangolo è una figura oblunga. Quando si presenta un rettangolo nel piano cartesiano e questo ha due lati sensibilmente più lunghi degli altri due e disposti orizzontalmente, si parla di rettangolo largo; se invece i lati più lunghi sono disposti verticalmente si parla di rettangolo alto o addirittura di rettangolo sottile. La lunghezza dei due lati opposti più lunghi viene chiamata lunghezza o base del rettangolo, mentre la lunghezza dei due lati più corti viene chiamata larghezza o altezza. Si dice quindi che l'area di un rettangolo è data dal prodotto della sua lunghezza per la sua larghezza ovvero dal prodotto della sua base per la sua altezza. Ad esempio l'area del rettangolo 5 per 4 presentato nella prima figura è 20, in quanto 5 × 4 = 20. Se invece la base e l'altezza di un rettangolo si indicano rispettivamente con b ed h per la sua area A e per il suo perimetro L si ha
A=b×h L=2b+2h
Nel calcolo infinitesimale l'integrale di Riemann viene definito come limite delle somme delle aree di rettangoli via via più sottili.
ROMBO
![Immagine](/uploads/1/8/4/7/18476746/2337887.png?300)
In geometria, un rombo (o losanga) è un quadrilatero che ha tutti i lati della stessa lunghezza.
Il quadrato è un particolare tipo di rombo: oltre ad avere tutti i lati uguali, ha anche tutte le diagonali uguali e gli angoli anche essi uguali.
I lati opposti di un rombo sono paralleli: esso quindi appartiene alla famiglia dei parallelogrammi.
Essendo un quadrilatero, anche il rombo ha due diagonali: esse hanno la caratteristica di essere perpendicolari fra loro e di intersecarsi nel loro punto medio.
Ciascuna diagonale divide il rombo in due triangoli isosceli, che sono congruenti.
Gli angoli opposti sono congruenti, vale a dire hanno uguale ampiezza: quindi
A=c=α
B=D=β
Due angoli consecutivi sono supplementari, con somma quindi pari a 180°:
α+β=180°Un caso particolare di rombo, avente tutti gli angoli uguali e pari a 90°, è il quadrato.
L'altezza del rombo è pari al diametro della circonferenza inscritta al rombo o al rapporto tra l'area e lato base:
h=2r=A/α
Se è il lato del rombo, il suo perimetro è dato da:
2p=4*α
area del rombo
come per tutti i parallelogrammi, effettuando il prodotto della base , coincidente con il lato del rombo, per l'altezza :
A=α*h
moltiplicando la diagonale maggiore per la diagonale minore e dividendo il risultato per 2:
A=d1*d2/2=AC*BD/2
Il quadrato è un particolare tipo di rombo: oltre ad avere tutti i lati uguali, ha anche tutte le diagonali uguali e gli angoli anche essi uguali.
I lati opposti di un rombo sono paralleli: esso quindi appartiene alla famiglia dei parallelogrammi.
Essendo un quadrilatero, anche il rombo ha due diagonali: esse hanno la caratteristica di essere perpendicolari fra loro e di intersecarsi nel loro punto medio.
Ciascuna diagonale divide il rombo in due triangoli isosceli, che sono congruenti.
Gli angoli opposti sono congruenti, vale a dire hanno uguale ampiezza: quindi
A=c=α
B=D=β
Due angoli consecutivi sono supplementari, con somma quindi pari a 180°:
α+β=180°Un caso particolare di rombo, avente tutti gli angoli uguali e pari a 90°, è il quadrato.
L'altezza del rombo è pari al diametro della circonferenza inscritta al rombo o al rapporto tra l'area e lato base:
h=2r=A/α
Se è il lato del rombo, il suo perimetro è dato da:
2p=4*α
area del rombo
come per tutti i parallelogrammi, effettuando il prodotto della base , coincidente con il lato del rombo, per l'altezza :
A=α*h
moltiplicando la diagonale maggiore per la diagonale minore e dividendo il risultato per 2:
A=d1*d2/2=AC*BD/2
PARALLELOGRAMMA
![Immagine](/uploads/1/8/4/7/18476746/3323389.png?282)
Proprietà del parallelogramma:
- I lati opposti sono paralleli e congruenti.
- Gli angoli opposti sono uguali, gli angoli adiacenti sono supplementari.
- Le diagonali si intersezano nel loro punto medio.
- Ciascuna diagonale divide il parallelogramma in due triangoli uguali.
-Il punto di intersezione tra le due diagonali è il centro di simmetria del parallelogramma.
Un po' di nomi
Lati di base: b - Lati obliqui: L - Altezza: h
Diagonale minore: d1 - Perimetro: 2p
Diagonale maggiore: d2 - Area: A
Tutte le formule su parallelogramma
perimetro del parallelogramma=2b+2L
Area del parallelogramma:A=b*h
Base:b=A/h
Base:b=(2p-2b)/2
altezza:h=A/b
Altezza=(2p-2b)/2
- I lati opposti sono paralleli e congruenti.
- Gli angoli opposti sono uguali, gli angoli adiacenti sono supplementari.
- Le diagonali si intersezano nel loro punto medio.
- Ciascuna diagonale divide il parallelogramma in due triangoli uguali.
-Il punto di intersezione tra le due diagonali è il centro di simmetria del parallelogramma.
Un po' di nomi
Lati di base: b - Lati obliqui: L - Altezza: h
Diagonale minore: d1 - Perimetro: 2p
Diagonale maggiore: d2 - Area: A
Tutte le formule su parallelogramma
perimetro del parallelogramma=2b+2L
Area del parallelogramma:A=b*h
Base:b=A/h
Base:b=(2p-2b)/2
altezza:h=A/b
Altezza=(2p-2b)/2
TRAPEZIO
![Immagine](/uploads/1/8/4/7/18476746/7326016.png)
Facendo riferimento alla figura a fianco del teorema, i due lati paralleli e sono detti basi del trapezio, rispettivamente "base maggiore" e "base minore", mentre gli altri due lati e sono detti lati obliqui del trapezio.
La distanza fra i due lati paralleli, lunghezza di ogni segmento ortogonale che collega le basi o i loro prolungamenti, fornisce l'altezza del trapezio.
Nel caso particolare in cui anche i due lati obliqui siano paralleli si ha un parallelogramma, ossia, a seconda dei casi, un quadrato (lati uguali e angoli retti),rettangolo (lati opposti uguali e angoli retti), rombo (lati uguali ma angoli non necessariamente retti) o romboide (lati opposti uguali ma angoli non retti o, in altri termini, un parallelogramma che non sia né un quadrato, né un rettangolo né un rombo).Se i lati obliqui non sono paralleli, essi possono essere prolungati fino ad incontrarsi in un punto, in modo da formare un triangolo che contiene il trapezio: questo è il più piccolo triangolo circoscritto al trapezio che contiene il trapezio stesso ed è unico.Un quadrilatero è un trapezio se e solo se contiene due angoli adiacenti supplementari, tali cioè che la somma delle loro ampiezze equivalga a 180°. In questo caso anche i due angoli rimanenti sono supplementari. Tradotto in formule:
α+δ + = 180°
β+γ=180°
Consideriamo il quadrilatero ABCD e denotiamo con AB e DC i suoi lati paralleli; denotiamo inoltre con M il punto in cui si intersecano le due diagonali AC e DB. Tale quadrilatero è un trapezio se e solo se
AM:CM=BM:DM
L'area del trapezio si può calcolare come il prodotto della semisomma (media aritmetica) delle lunghezze delle basi per l'altezza:
A=B+b/2*h
Tale formula può essere spiegata se si fa riferimento alla figura a fianco: se al trapezio uniamo un altro trapezio ad esso uguale, ma capovolto sia lungo l'asse delle ascisse sia lungo l'asse delle ordinate, si nota come l'area totale dell'insieme sia data dal prodotto della somma delle basi per l'altezza. Poiché essa è il doppio di quella voluta, ossia del trapezio, ne va presa la metà.
Attraverso la Formula di Erone è possibile calcolare l'area del trapezio conoscendo solo le misure dei lati. Tale proprietà non si applica tuttavia ai parallelogrammi.
La distanza fra i due lati paralleli, lunghezza di ogni segmento ortogonale che collega le basi o i loro prolungamenti, fornisce l'altezza del trapezio.
Nel caso particolare in cui anche i due lati obliqui siano paralleli si ha un parallelogramma, ossia, a seconda dei casi, un quadrato (lati uguali e angoli retti),rettangolo (lati opposti uguali e angoli retti), rombo (lati uguali ma angoli non necessariamente retti) o romboide (lati opposti uguali ma angoli non retti o, in altri termini, un parallelogramma che non sia né un quadrato, né un rettangolo né un rombo).Se i lati obliqui non sono paralleli, essi possono essere prolungati fino ad incontrarsi in un punto, in modo da formare un triangolo che contiene il trapezio: questo è il più piccolo triangolo circoscritto al trapezio che contiene il trapezio stesso ed è unico.Un quadrilatero è un trapezio se e solo se contiene due angoli adiacenti supplementari, tali cioè che la somma delle loro ampiezze equivalga a 180°. In questo caso anche i due angoli rimanenti sono supplementari. Tradotto in formule:
α+δ + = 180°
β+γ=180°
Consideriamo il quadrilatero ABCD e denotiamo con AB e DC i suoi lati paralleli; denotiamo inoltre con M il punto in cui si intersecano le due diagonali AC e DB. Tale quadrilatero è un trapezio se e solo se
AM:CM=BM:DM
L'area del trapezio si può calcolare come il prodotto della semisomma (media aritmetica) delle lunghezze delle basi per l'altezza:
A=B+b/2*h
Tale formula può essere spiegata se si fa riferimento alla figura a fianco: se al trapezio uniamo un altro trapezio ad esso uguale, ma capovolto sia lungo l'asse delle ascisse sia lungo l'asse delle ordinate, si nota come l'area totale dell'insieme sia data dal prodotto della somma delle basi per l'altezza. Poiché essa è il doppio di quella voluta, ossia del trapezio, ne va presa la metà.
Attraverso la Formula di Erone è possibile calcolare l'area del trapezio conoscendo solo le misure dei lati. Tale proprietà non si applica tuttavia ai parallelogrammi.